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Gödel proved that, in general, a complete mathematical theory cannot be derived entirely from a finite number of axioms. In general mathematics is too rich to be derived from a limited number of propositions (what mathematicians name a "formal system"). In particular just arithmetic is too rich to be reducible in a finite set of axioms. What we can derive from a finite formal system is necessarily incomplete.

Nachtrag: die Unentscheidbarkeit der Arithmetik ist eine Limitation der Mathematik, nicht der endlichen Axiomatisierung der Arithmetik. Jede rekursiv aufzählbare Axiomatisierung der Arithmetik (also auch jede unendliche!) besitzt wahre, aber nicht beweisbare Aussagen.

Die Leser des Mathematikblogs Polymath scheinen sich aber nicht ganz sicher zu sein, was sie von dieser offenbar für viele sehr unintuitiven Gleichung halten sollen. 6 Monate (!) wurde diese Frage heiss diskutiert, und der arme Blog-Autor bekommt immer noch böse Emails. Die Leserbriefe sind durchweg sehr unterhaltsam.

If a mathematical "proof" actually proved something, nobody would bother producing more than one.

Math EVOLVES. One day, it will evolve to the point where it will be obvious to you guys stuck on math that this posit is incorrect.

Ohoh. Ob da viel bei rüberkommt?

Offenbar ein Schweizer, denn wer außer einem Schweizer würde schon mutwillig einen Aufsatz zum Thema Bürgermeister Johann Heinrich Waser (1600-1669) als Politiker, Ein Beitrag zur Schweizer Geschichte des 17. Jahrhunderts schreiben.

Auch seine Erläuterungen zum Schweizer Verfassungsgeschichte, Geschichtsphilosophie und Ideologie lassen auf einen unverarbeiteten eidgenössischen Hintergrund und hohe Leidensfähigkeit schließen. Außerdem ist er entweder Historiker, oder ein Jurist, der durch ein mißglücktes biologisches Experiment zum Historiker mutiert ist. Eine Leseprobe:

Die Gegenposition der Städte, soweit sie unter sich einig waren, lässt sich folgendermassen umschreiben: Sie versuchten einerseits, ihre Territorialbildung zu fördern und zu stärken, gleichzeitig aber auch, Konflikte untereinander, hervorgerufen durch gegensätzliche Territorial- und Burgrechtspolitik, zu vermeiden oder rechtlich zu regeln, andererseits war ihnen daran gelegen, den städtischen Einfluss im Bündnissystem der Eidgenossenschaft zu verstärken, also der Eidgenossenschaft den Charakter eines Städtebundes zu geben, um damit die städtischen Interessen zu wahren, besonders aber um ihre grösstmögliche Unabhängigkeit und Freiheit zu sichern.

Aber wer um alles in der Welt zitiert ausgerechnet diesen Mann in einem ansonsten staubtrockenen Wikipedia-Artikel? Jemanden, der uns in der besten Tradition der italienischen Dadaisten diesen wundervollen Satz schenkt:

Auch ein anderer Beweis für die Behauptung, dass 1 = 0,999... sei, ist falsch. Dieser Beweis basiert wieder auf der unzulässigen Multiplikation der unendlichen Dezimalbruchentwicklung 0,999..., indem die Gleichung x=0,999... beidseitig mit 10 multipliziert, dann auf beiden Seiten x abgezogen und schliesslich beide Seiten durch 9 dividiert werden. Als Resultat ergibt sich dann, dass 0,999... = 1 ist, aber auch der Widerspruch, dass x ungleich x ist, also eine nach den Regeln der Logik falsche Aussage, was allerdings nirgends in der Literatur bemerkt wird. (aus Ist die unendliche Periode 0,999... = 1 ?)

Mir bleibt nur eine Erklärung: sowohl die Originaltexte als auch die die Zitate in der Wikipedia müssen eine subversive Form von Humor sein. In diesem Sinne, noch etwas erbaulicher Nonsens:

Wäre 9/9 = 1 = 0,999... dann würde dies den Rechenregeln zufolge bedeuten, dass 9*0,999... = 9 wäre, wobei nicht zu sehen ist welche Multiplikationsregel hier angewendet werden müsste, ist doch 9*9 = 81, so dass 9 mal 0,999... so etwas wie 8,999...1 ergäbe. Offensichtlich ist die Multiplikation von unendlichen Dezimalbruchzahlen doch nicht so einfach, wie uns jene Mathematiker glauben machen wollen, die kurzerhand erklären, 3 mal 0,333... sei 0,999... und dabei als selbstverständlich unterstellen, die elementaren Multiplikationsregeln gälten für unendliche Dezimalbrüche genauso wie für endliche.

Ja, gib's uns, Baby! Dieser Taschenrechner
macht endliche Schluss mit dem lästigen Nullproblem und ist damit der erste echte Anti-Mythenrechner.

Die Themen, für die sich die Herren im Goldenen Lebensabend interessieren, sind meist der Komplexität der früher wahrgenommenen Tätigkeiten entsprechend sehr, sehr anspruchsvoll. Unterhalb des Schwierigkeitsgrads der Golbach'schen Vermutung greift normalerweise kein promovierter Bauingenieur a.D. in die Tasten seiner mechanischen Schreibmaschine.

Umso schöner ist es, wenn sich einige wenige dazu berufen fühlen, doch auch mal die gerne so vernachlässigten Mainstream-Theoreme genauer zu untersuchen. Beiträge zu so kontroversen Themen wie der Überabzählbarkeit der reelen Zahlen gehen in der Fülle des Materials über die leicht nachzuweisenden Fehler in der Relativitäts- und Quantentheorie gerne mal unter. Die schlampigen Ideen des bekannten mathematischen Quacksalbers Georg Cantor erfahren hier aber endlich eine wohlverdiente, glasklare Replik.